《筭数书》:超过两千年的汉简数学书(Suan Shu Shu


目前在全世界的古代出土文物中,超过两千年的数学文本可以说是凤毛麟角。近二十年来,在中国发现的秦简《数》与汉简《筭数书》,就是极珍贵的例外,非常值得我们一起来分享这些世界文化遗产的价值与意义。在本文中,我们只介绍《筭数书》。

《筭数书》出土于公元一九八四年初中国湖北省张家山汉墓第247号(墓主不详,是西汉初地方政府小吏)。根据陪葬的《曆谱》的最后一年(亦即西汉吕后二年,公元前186年)记载,它的问世不会晚于当年,也就是说,它是距今最少2197年抄写的一部竹简。从这一座汉墓,考古学家总共挖掘出来了八部竹简,除了上述的《筭数书》与《曆谱》外,还包括《二年律令》、《奏谳书》、《盖庐》、《脉书》、《引书》与《遣册》。

《筭数书》出「土」时,竹简失去了完整的捲束状态,使得它的编次,变成了现代考古学家与数学史家的「还原」的最大挑战。所幸,由于数学文本有其「内稟的」(intrinsic) 知识逻辑性,因此,考古学家在初步还原之后,我们针对这份文本校勘时,显然多了关键的凭藉或参考。换句话说,即使前后两枚竹简(或上下文)还原连缀后可以读得「通」,但是,却明显地违背了算理,那幺,我们就必须放弃而另寻他途。

根据考古学家的报导,「《筭数书》竹简共有一百九十枚,简长29.6-30.4厘米,宽0.6-0.7厘米。编线三道,上中各一道。全书编成一卷。」至于文字都以毛笔书写于竹黄那一面,只有书名『筭数书』例外,它写在全书第一题的末简(第六支)竹简背面,顶端还涂上黑色方块,以作为标誌用。上编线之上如有文字,则属于本书的「题名」,如第一题的「相乘」。正文写在上、下编线之间。至于下编线之下所出现的「杨」、「王」、「杨已雠」或「王已雠」,应该是指杨某或王某的两人曾担任抄写或校对工作,可惜,杨、王两人的身分与墓主一样,我们无从得知。

另一方面,抄写者何以连同代表「钩识」的记号如「﹂」也一併抄写,这就有一点奇怪了。或许这是由于算题或算法的断句,对于初学者而言相当重要而且不可或缺吧!除了上述的钩识记号之外,《筭数书》文本中还有表示文字或文句重複的重文号「=」,以及另起一段文字的墨点「‧」。

按照目前整理的情况,《筭数书》分为 69 题,其题名与相关数学内容如下

1. 相乘:与现在意义同
2. 分乘:分数相乘
3. 乘:与现在意义同
4. 矰(增)减分:将分数变大、变小
5. 分当半者:分数如何折半
6. 分半者:续前题
7. 约分:与现在意义同
8. 合分:分数相加(将分数「合」在一起)
9. 径分:分数相除,后来称作「经分」
10. 出金:出黄金多少,分数减法
11. 共买材:共同买木材
12. 狐出关:狐皮等出关的关税
13. 狐皮:类似前一题
14. 负米:背着米出关的关税
15. 女织:女人的织布量
16. 并租:合併一起计算租金
17. 金价(贾):黄金价钱
18. 舂粟:舂粟米的损耗量
19. 铜秏(耗):铸铜时的损耗量
20. 传马:驿站用马匹的刍稾草料供应
21. 妇织:三妇人织布
22. 羽矢:在箭竿尾部装羽毛
23. 桼(漆)钱:买漆的钱
24. 缯幅:缯布幅宽
25. 息钱:利息钱
26. (饮)桼(漆):往盛储生漆的容器注水
27. 税田:田地租税
28. 程竹:竹子量计的标準规定
29. 医:对医治病者的考核。
30. 石 [彳率亍](率):以石为单位进行计算
31. 贾盐:卖盐
32. 丝练:煮沸脱去丝胶的熟丝
33. 挐脂:已糅成的米膏
34. 取程:选取计量
35. 秏租:稻禾的租费
36. 程禾:粮食的比例换算规定
37. 取枲程:取粗麻的量
38. 误券:租卷所列租数与应收数有误
39. 租吴(误)券:误卷之后的租数
40. 粺毁(毇):两种精细程度不同的米
41. 秏:损耗
42. 粟为米:粟换算为米
43. 粟求米:同前题
44. 粟求米:同前题
45. 米求粟:米换算成粟
46. 米粟并:米、粟合併
47. 粟米并:同前一题
48. 负炭:背着木炭
49. 卢唐:竹筩製作
50. 羽矢:同第 22 题
51. 行:行走问题
52. 分钱:利用「盈不足术」解的分钱问题
53. 米出钱:买米出钱
54. 除:墓道
55. 斩都(堑堵):即刍甍,本义即为屋脊形的草垛
56. 刍:即刍童,截顶长方锥体形状的草垛
57. 旋粟:粟米堆积呈圆锥体状
58. 囷盖:圆形穀仓之盖
59. 睘(圜)亭:截顶圆锥体
60. 井材:木材竖置井或地窖中呈圆柱状
61. 以睘(圜)材方:将圆木裁成为方木
62. 以方裁睘(圜):将方木裁成为圆木
63. 睘(圜)材:圆柱形的木材
64. 启广:已知长方形及其长,求宽
65. 启从(纵):已知长方形及其宽,求长
66. 少广:已知长方形及其较短的广,求较长的纵
67. 大广:边长兼容整数、分数与带分数的田地面积计算
68. 方田:已知正方形求边长
69. 里田:将边长以里为单位的田地之面积,折算为顷亩的方法

现在,简要说明各题内容。 第1-10 题的内容无非是分数加、减、乘、除的运算,除了第 10 题之外,其他都未曾包括问题「情境」。在算书中这种对于分数运算的开宗明义编排,或许反映了古代中国人对于此一主题的重视,无怪乎后来的魏晋刘徽在注解《九章算术》时,会强调「故为术者,先治诸分」,也就是说,学习数学的方法,必须先处理分数运算的问题。

第11-51题都是有关比例的实用问题。我们从每个题名的说明,即可发现这些问题果然出自实用需求。此外,明白地指出运用特定方法如「赢(盈)不足术」来解的问题,则有第52,53,68三题 - (52) 分钱:利用「盈不足术」解的分钱问题;(53) 米出钱:买米出钱;(68) 方田:给定正方形求边长。这些问题是否出自实用背景,还是出自数学趣味的考量,我们目前还无法确定。

有关体积计算的问题,本书有十题(第54-63题)涉及墓道的形状与大小、草垛体积、粮仓容积计算等等,应该都离不开实用需求。有关「少广」问题,则有下列第64-66三题 - (64) 启广:已知长方形及其长,求宽;(65) 启纵:已知长方形及其宽,求长;(66) 少广:已知长方形及其较短的广,求较长的纵,其中所运用的面积与长度单位,都出自秦汉田亩制度。只是,为何本书(佔23枚竹简)以及后来的《九章算术》(第四章「少广」)花这幺多篇幅,来举例说明此一方法呢?我们还无从得知,或许这些计算最是关乎实用吧!

相对应地,有关(长方形田亩)面积之计算,有下列两题 - (67) 大广:边长兼容整数、分数与带分数的田地面积计算;(69) 里田:将边长以里为单位的田地之面积折算为顷亩的方法。这两类问题在东汉《九章算术》中,被归入第一章「方田」。不过,《九章算术》这一章也收入分数四则运算,其内容涵盖了前述《筭数书》的第 1-10 个单元,显然前书的抄写祖本也认为这些算法乃是算学的根本。但是,为了适应「九」章 - 呼应《周礼》所强调的「九数」-来安排材料,所以,或许才放弃将分数四则运算至于全书之首的成规吧!

最后,兹引述「约分」(第7题)与「方田」(第68题),略见《筭数书》之趣味于一斑。「约分术曰:以子除母,母亦除子,子母数交等者,即约之矣。有(又)曰,约分术曰:可半,半之,可令若干一,若干一。其一术曰:以分子除母,少,以母除子,子、母等,以为法,子、母各如法而成一。不足除者,可半,半母亦半子。二千一十六分之百六十二,约之百一十二分之九。」

本题「约分术」实质上是一个「辗转相除法」,读者或愿利用现代算式,将上述问题解法,翻译成白话文,并比较其异同。不过,也请注意这些分子、分母的唸法,譬如 $$2016$$ 读作「二千一十六分之百六十二」,其中「零」字尚未出现。

「方田:田一亩方以几何步?曰:方十五步卅一分步十五。术曰:方十五步不足十五步,方十六步有徐(余)十六步。曰:并赢(盈)、不足以为法,不足子乘赢(盈)母,赢(盈)子乘不足母,并以为实。复之,如启广之术。」本题利用「赢(盈)不足术」来解。

不过,读者或有兴趣利用现代算法求解。事实上,这是求平方根近似值的一种方法。或许读者也愿意延拓此一方法,以便寻找某些开方不尽根数之近似值。又,请问此一方法与微积分课本中的「牛顿法」(Newton method) 有关吗?当然,这并不表示微积分是可以协助我们解读此一方法意义的唯一凭藉,只是此一公式如何「想像」得到,还真是耐人寻味呢。

根据上文的简要说明,《筭数书》堪称非常具体地反映了中国古算的实用基调。不过,有关它的研究仍然方兴未艾,尤其是它与可能稍后问世的算经《九章算术》之关係,更是引人注目。无论如何,我们通过这些文本(text),可以和两千多年前的数学知识活动参与者(mathematical practitioner)对话,分享他们的数学关怀。这是现代人的福份,值得我们好好珍惜。

参考书目:

上一篇: 下一篇: